Ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto v(h:k)

Parábola con vértice en el origen

• Cuando el parámetro es grande, la curva es ancha.
• Cuando el parámetro es chico, la curva es cerrada.

Parábola: elementos

 

      Foco: Es el punto fijo F.

Directriz: Es la recta fija d.

Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.

Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuaciones de la circunferencia

1. Ecuación en coordenadas cartesianas:

Sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio (R) consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.

Cuando el centro esta en el origen, la ecuación se simplifica, quedando: 

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es denominada circunferencia goniométrica.

De la ecuación siguiente: que se  se deduce a: dando como resultado a:  

Puntos extremos de un diámetro:  , la ecuación de la circunferencia es:

 

2.   Ecuación vectorial de la circunferencia:

Circunferencia con centro en el origen y radio (R) tiene como ecuación vectorial a:

        3.  Ecuación en coordenadas polares:

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como:  

Cuando el centro no esta en el origen, sino en el punto

 y el radio es c, la ecuación se transforma en: 

 

 

          4.  Ecuación en coordenadas paramétricas:

Circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: , y con funciones racionales tales como:

 

La circunferencia

Definición: La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.

Elementos

Centro ( C ) : Punto fijo

Radio r : distancia constante

D (P;C) = r

Relación de paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Rectas perpendiculares

 Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es -1

Rectas paralelas

 Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente

 Ax + By + C = 0

 Ejemplo:

Distancia de un punto a una recta

Para calcular la distancia de un punto P(x;y) a una recta Ax + By + C = 0

Formula:

Ejemplo: 

Calcular la distancia del punto P (2;4) a la recta 3x – 5y – 11 = 0

Distancia entre dos rectas paralelas

Dada las rectas paralelas:

Ejemplo:

 Hallar la distancia de la recta L1: 3x + 4y + 3 a la recta L2: 3x + 4y – 6 = 0

Conclusiones

• Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
• Dos rectas perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1
• La ecuación de la recta bisectriz a los ejes cartesianos es aquella cuyo termino independiente es 0 y los valores de A y B son iguales (en valor absoluto)

7) Ecuación de la recta:

La recta: La recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.  La recta se puede representar mediante una ecuación.

• Forma de punto pendiente:

Si la recta pasa por un punto P1(X1;Y1) y cuya pendiente es “n”, entonces la ecuación de la recta es dada por:

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2; 5) y tiene pendiente 3. 

• Ecuación General: 

Se denomina ecuación general de la recta a la expresión: 

Donde A, B y C son números reales, además A y B  no pueden ser                simultáneamente nulos. 

Entonces podemos afirmar que: