Introduccion:

A continuacion se daran a conocer los temas correspondientes a Geometría Analítica (Tercer Bimestre)


jueves, 7 de octubre de 2010

Ecuación de la parábola que tiene vértice en el punto v(h:k)



Parábola con vértice en el origen

  • Cuando el parámetro es grande, la curva es ancha.
  • Cuando el parámetro es chico, la curva es cerrada.


Parábola: elementos

 
      Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija d.
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

Ecuaciones de la circunferencia


  1. Ecuación en coordenadas cartesianas:
Sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio (R) consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación.
Cuando el centro esta en el origen, la ecuación se simplifica, quedando: 
La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es denominada circunferencia goniométrica.
De la ecuación siguiente: 
que se  se deduce a: dando como resultado a:  

Puntos extremos de un diámetro:  la ecuación de la circunferencia es:
 

2.   Ecuación vectorial de la circunferencia:
Circunferencia con centro en el origen y radio (R) tiene como ecuación vectorial a:

        3.  Ecuación en coordenadas polares:
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como:  



Cuando el centro no esta en el origen, sino en el punto
 y el radio es c, la ecuación se transforma en: 
 
 

          4.  Ecuación en coordenadas paramétricas:
Circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como: , y con funciones racionales tales como:

 

La circunferencia

Definición: La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.
Elementos
Centro ( C ) : Punto fijo
Radio r : distancia constante
D (P;C) = r



Relación de paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Rectas perpendiculares
 Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es -1
Rectas paralelas
 Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente
 Ax + By + C = 0
 Ejemplo:
Distancia de un punto a una recta
Para calcular la distancia de un punto P(x;y) a una recta Ax + By + C = 0
Formula:
Ejemplo: 
Calcular la distancia del punto P (2;4) a la recta 3x – 5y – 11 = 0
Distancia entre dos rectas paralelas

Dada las rectas paralelas:
Ejemplo:
 Hallar la distancia de la recta L1: 3x + 4y + 3 a la recta L2: 3x + 4y – 6 = 0
Conclusiones

  • Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
  • Dos rectas perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1
  • La ecuación de la recta bisectriz a los ejes cartesianos es aquella cuyo termino independiente es 0 y los valores de A y B son iguales (en valor absoluto)


















martes, 7 de septiembre de 2010

7) Ecuación de la recta:

La recta: La recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado.  La recta se puede representar mediante una ecuación.

  • Forma de punto pendiente:

Si la recta pasa por un punto P1(X1;Y1) y cuya pendiente es “n”, entonces la ecuación de la recta es dada por:

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2; 5) y tiene pendiente 3. 


  • Ecuación General: 
Se denomina ecuación general de la recta a la expresión: 

Donde A, B y C son números reales, además A y B  no pueden ser                simultáneamente nulos. 
Entonces podemos afirmar que:



6) Ángulo de inclinación y pendiente de un segmento

El ángulo de inclinación de un segmento es el ángulo que forma el segmento (o su propia prolongación) con el eje X, medido en sentido anti – horario y considerando el eje como lado inicial.

La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación
Ejemplo

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2;1) y B (7;2)



5) División de un segmento en una razón dada:

Formulas:

Otras Formulas: 

Ejemplo (1era fórmula) 
Encuentre las coordenadas del punto P1(1;3) , P2(7;9) que divide al segmento P1P2 en la razón ½

Rpta: (3; 5)


Ejemplo (2da fórmula)
Encuentre las coordenadas del punto P1(5;2) , P2(2;3) que divide al segmento P1P2 en la razón 4/3


Rpta: (21,4; 24,8)



4) Cálculo de áreas en el plano cartesiano

Para calcular el área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices se aplica la siguiente fórmula:
Ejemplo




3) Distancia entre dos puntos:

Sean los puntos P1(X1; Y1) y P2 (X2; Y2)
La distancia entre P1 y P2 se determina por:




Por ejemplo: 
·      Calcular la distancia de P1 a P2
P1 = (8;6) y P2 = (5;2)
  • Hallar la distancia entre los puntos: A(-3;2) y B(2,2)
  • Hallar la distancia entre los puntos: A(-3;2) y B(2,2)




2) Sistema de coordenadas cartesianas:

  1. El sistema coordenado unidimensional 
Representado por la recta numérica, que se determina por  P1(X1) y P2(X2). Se tiene;
La distancia dirigida de P1 a P2 es: P2 – P1 = X2 – X1. La distancia no dirigida es:

Ejemplo:
Distancia dirigida
 El punto medio

Es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos.
Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.


Formula
Ejemplo

Si el punto de un segmento es M(-1;2)y uno de los extremos es A(2;5), hallar las coordenadas del otro extremo: